DESARROLLO del  CURSO 2024/2025

Introducción: Conceptos básicos y definiciones: Problema "bien planteado" y condiciones de Hadamard.

(Prueba de seguimiento 1)

Introducción: Repaso de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden: Ecuaciones de primer y segundo orden.

Discusión en clase de la práctica 1. 

Tabla repartida en clase

(Prueba de seguimiento 2)

Planteamiento de problemas de la Física-Matemática: Ecuación de la difusión: Distribución de temperaturas en estado estacionario.

Casos propuestos de la clase de hoy

Planteamiento de problemas de la Física-Matemática: Ecuación de la difusión: Deducción de la ecuación del calor en dos y tres dimensiones: Solución de equilibrio: ecuación de Poisson y ecuación de Laplace. Planteamiento de la ecuación del calor en coordenadas polares, esféricas y cilíndricas.

Casos propuestos de la clase de hoy

(Prueba de seguimiento 3)

Planteamiento de problemas de la Física-Matemática: Ecuación de ondas: Condiciones iniciales y condiciones de contorno para la ecuación de ondas. Ejemplo de fenómenos físicos de interés en la ingeniería gobernados por la ecuación de ondas. Ecuación de ondas en dos dimensiones: membrana vibrante.

Problema propuesto de la clase de hoy

(Prueba de seguimiento 3)

Planteamiento de problemas de la Física-Matemática: Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales: Ecuaciones con dos variables independientes. Ecuaciones con dos variables independientes y coeficientes constantes. Ecuaciones con varias variables independientes.

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: Ecuaciones diferenciales lineales: Método de las características. Aplicación a la ecuación de onda unidireccional.

(Prueba de seguimiento 4)

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: Ecuaciones diferenciales lineales: Método de las características. Ecuación de ondas: solución de D'Alembert; solución al problema de valores iniciales.

Solución de la ecuación de ondas 1D: problema de valores iniciales

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: Ecuaciones diferenciales lineales: Ecuación de ondas: solución al problema de valores iniciales.

(Prueba de seguimiento 5)

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

(Prueba de seguimiento 6)

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: Ecuaciones diferenciales no lineales: Ondas unidireccionales, ondas de expansión y ondas de compresión. Ondas de choque: velocidad de propagación y condición de Rankine-Hugoniot. Ejemplo comparativo de los diferentes tipos de ondas.

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución de la ecuación de la cuerda vibrante: Solución en serie de Fourier e imposición de las condiciones iniciales. Resolución del problema de conducción de calor en una barra: Fundamentación y obtención de las ecuaciones separadas; Solución en serie de Fourier e imposición de la condición inicial.

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución del problema de conducción de calor en una barra: Fundamentación y obtención de las ecuaciones separadas; Solución en serie de Fourier e imposición de la condición inicial.

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Problema de conducción de calor en una barra con condiciones de contorno de temperatura fija y otra basada en la ley de calentamiento de Newton: Fundamentación y obtención de las ecuaciones separadas. Problemas de Sturm Liouville para ecuaciones diferenciales ordinarias: Definición y clasificación de los problemas de Sturm Liouville. Valores propios y funciones propias.

Resumen repartido en clase

(Prueba de seguimiento 8)

Separación de variables: Problemas de Sturm Liouville para ecuaciones diferenciales ordinarias: Propiedades de los problemas periódicos y singulares. Carácter real de los valores propios. Unicidad de las funciones propias en problemas regulares. Condiciones de contorno periódicas y condiciones de contorno de problemas singulares.

(Prueba de seguimiento 9)

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución del problema de vibraciones transversales en una membrana circular elástica.

Resumen repartido en clase

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución del problema de vibraciones transversales en una membrana circular elástica. Problemas de contorno: resolución de la ecuación de Laplace en un rectángulo:

Casos repartidos en clase

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución de la ecuación de Laplace en un círculo: problema interior y problema exterior de Dirichlet.

(Prueba de seguimiento 10)

(Prueba de seguimiento 11)

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas:  Resolución de la ecuación de Laplace en un círculo: problema interior y problema exterior de Dirichlet. Resolución de la ecuación de Laplace en un círculo: problema interior y problema exterior de Neumann.

Caso propuesto de clase (fórmula integral de Poisson)

Caso propuesto de clase (problema de Neumann)

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales con más de dos variables independientes: Series de Fourier múltiples. Solución de problemas multidimensionales homogéneos: problema elípticos, parabólicos e hiperbólicos.

Resumen repartido en clase

Caso propuesto de clase (problemas multidimensionales)

Problemas no homogéneos: Métodos de desarrollos en funciones propias: Obtención de las funciones propias. Solución en serie del problema no homogéneo. Ejemplo de problema parabólico. Ejemplo de problema hiperbólico.

Casos propuestos de clase

Funciones de Green: Introducción: Obtención de la función de Green a partir de la solución en serie de Fourier. Aplicación a la ecuación del calor.

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Funciones de Green: Funciones de Green para ecuaciones diferenciales ordinarias: Obtención de la función de Green para la ecuación del calor en estado estacionario.

Casos propuestos de clase

Interpretación física de la función de Green. Propiedades de las funciones de Green.

Simetría

Solución de problemas con condiciones de contorno no homogéneas.

Ejercicio propuesto de la clase de hoy

Resumen de propiedades y ejemplos repartido en clase

Tablas de Transformadas de Laplace

Transformaciones integrales: Transformadas de Fourier: Integral de Fourier de una función.

Resumen repartido en clase

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Transformaciones integrales: Transformadas de Fourier: Integral Seno e Integral Coseno de Fourier de una función. Transformadas Seno y Coseno de Fourier de una función: definición; principales propiedades de estas transformadas; ejemplo de problema parabólico.