DESARROLLO del  CURSO 2023/2024

Introducción: Conceptos básicos y definiciones: Ecuaciones en derivadas parciales homogéneas y no homogéneas. Aspectos generales sobre las soluciones. Métodos generales de solución de ecuaciones en derivadas parciales.

(Prueba de seguimiento 1)

Planteamiento de problemas de la Física-Matemática: Ecuación de la difusión: Relación con variables macroscópicas. Ecuación constitutiva. Condiciones iniciales y condiciones de contorno para la ecuación del calor. Analogía entre diferentes fenómenos físicos de la mecánica del continuo.

Tabla repartida en clase

(Prueba de seguimiento 2)

Planteamiento de problemas de la Física-Matemática: Ecuación de la difusión: Revisión de conceptos de la clase anterior. Distribución de temperaturas en estado estacionario.

Casos propuestos de la clase de hoy

Planteamiento de problemas de la Física-Matemática: Ecuación de la difusión: Deducción de la ecuación del calor en dos y tres dimensiones: Solución de equilibrio: ecuación de Poisson y ecuación de Laplace. Planteamiento de la ecuación del calor en coordenadas polares, esféricas y cilíndricas.

Casos propuestos de la clase de hoy

(Prueba de seguimiento 3)

Planteamiento de problemas de la Física-Matemática: Ecuación de ondas: Condiciones iniciales y condiciones de contorno para la ecuación de ondas. Ejemplo de fenómenos físicos de interés en la ingeniería gobernados por la ecuación de ondas. Ecuación de ondas en dos dimensiones: membrana vibrante.

Problema propuesto de la clase de hoy

Planteamiento de problemas de la Física-Matemática: Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales: Ecuaciones con dos variables independientes. Ecuaciones con dos variables independientes y coeficientes constantes. Ecuaciones con varias variables independientes.

(Prueba de seguimiento 4)

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: Ecuaciones diferenciales lineales: Método de las características. Ecuación de ondas: solución de D'Alembert; solución al problema de valores iniciales.

Solución de la ecuación de ondas 1D: problema de valores iniciales

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: Ecuaciones diferenciales lineales: Ecuación de ondas: solución al problema de valores iniciales.

(Prueba de seguimiento 5)

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: Ecuaciones diferenciales lineales: Ecuación de ondas: solución al problema de valores iniciales.

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: Ecuaciones diferenciales lineales: Discusión sobre modelos parabólicos e hiperbólicos de la ecuación del calor: ley de Fourier y ley de Cattaneo.

(Prueba de seguimiento 6)

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: Ecuaciones diferenciales no lineales: Ondas unidireccionales, ondas de expansión y ondas de compresión. Ondas de choque: velocidad de propagación y condición de Rankine-Hugoniot. Ejemplo comparativo de los diferentes tipos de ondas.

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución de la ecuación de la cuerda vibrante: Solución en serie de Fourier e imposición de las condiciones iniciales.

(Prueba de seguimiento 7)

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución de la ecuación de la cuerda vibrante: Solución en serie de Fourier e imposición de las condiciones iniciales. Resolución del problema de conducción de calor en una barra: Fundamentación y obtención de las ecuaciones separadas; Solución en serie de Fourier e imposición de la condición inicial.

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Separación de variables: Problemas de Sturm Liouville para ecuaciones diferenciales ordinarias: Definición y clasificación de los problemas de Sturm Liouville. Valores propios y funciones propias. Revisión de conceptos generales (producto interno entre dos funciones, norma de una función, ortogonalidad de dos funciones, conjunto ortogonal de funciones, conjunto ortonormal de funciones).

Resumen repartido en clase

(Prueba de seguimiento 8)

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución del problema de vibraciones transversales en una membrana circular elástica.

Resumen repartido en clase

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución del problema de vibraciones transversales en una membrana circular elástica. 

(Prueba de seguimiento 9)

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Problemas de contorno. Resolución de la ecuación de Laplace en un rectángulo:

Casos repartidos en clase

Resolución de la ecuación de Laplace en un círculo: problema interior de Dirichlet:

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución de la ecuación de Laplace en un círculo: problema interior y problema exterior de Dirichlet

Separación de variables: Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Resolución de la ecuación de Laplace en un círculo: problema interior y problema exterior de Neumann.

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Solución de ecuaciones en derivadas parciales con más de dos variables independientes: Series de Fourier múltiples. Solución de problemas multidimensionales homogéneos: problema elípticos, parabólicos e hiperbólicos.

Resumen repartido en clase

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Problemas no homogéneos: Transformación de problemas no homogéneos en problemas homogéneos: Ejemplo de aplicación a la ecuación del calor.

(Prueba de seguimiento 10)

Problemas no homogéneos: Métodos de desarrollos en funciones propias: Obtención de las funciones propias. Solución en serie del problema no homogéneo. Ejemplo de problema parabólico. Ejemplo de problema hiperbólico.

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Funciones de Green: Introducción: Obtención de la función de Green a partir de la solución en serie de Fourier. Aplicación a la ecuación del calor.

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Funciones de Green: Funciones de Green para ecuaciones diferenciales ordinarias: Obtención de la función de Green para la ecuación del calor en estado estacionario.

Casos propuestos de la clase de hoy

Interpretación física de la función de Green. Propiedades de las funciones de Green.

Simetría

Solución de problemas con condiciones de contorno no homogéneas.

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Transformaciones integrales: Motivación: Objetivo. Tipos de transformaciones: Laplace y Fourier. Transformadas de Laplace: Definición. Principales propiedades de la transformada de Laplace.

Resumen de propiedades y ejemplos repartido en clase

Tablas de Transformadas de Laplace

(Prueba de seguimiento 11)

Transformaciones integrales: Transformadas de Laplace: Aplicación a problemas en ecuaciones diferenciales ordinarias y en ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Transformadas de Fourier: Integral de Fourier de una función.

Resumen repartido en clase

Ejercicios propuestos de la clase de hoy

Transformaciones integrales: Transformadas de Fourier: Integral de Fourier de una función. Integral Seno e Integral Coseno de Fourier de una función. Transformadas Seno y Coseno de Fourier de una función: definición.

Tablas de Transformadas de Fourier

Transformaciones integrales: Transformadas de Fourier: Forma compleja de la Integral de Fourier de una función. Transformadas de Fourier directa e inversa.

(Prueba de seguimiento 12)