Álgebra Lineal I

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Profesorado

Luis Fuentes García

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Raquel Taboada Vázquez

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Faculty

Luis Fuentes García

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Raquel Taboada Vázquez

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Información general

Curso

Primero

Tipo

Formación básica

Carga lectiva

6 créditos

Departamento

Matemáticas

4 horas semanales: en general, 2 de teoría y 2 de problemas. Las clases de problemas se dedican, fundamentalmente, a la resolución de las prácticas previamente propuestas.

Horario
Hora	Lunes	Martes	Miércoles	Jueves	Viernes
15:00–15:50	Grupo 1	—	Grupo 1	—	—
16:00–16:50	Grupo 1	—	Grupo 1	—	—
17:00–17:50	Grupo 2	—	Grupo 2	—	—
18:15–19:05	Grupo 2	—	Grupo 2	—	—

Grupo 1: Aula 1 Grupo 2: Aula 2

Evaluación. Examen final de toda la asignatura, máximo diez puntos; para aprobar la nota debe ser igual o superior a 5.0. Se propondrán además un par de trabajos voluntarios (máximo un punto adicional), cuya nota puede sustituir a el/los ejercicios elegidos por el alumno en el examen. No está permitido el uso de calculadoras programables.

Tutorías. Presenciales: lunes a jueves de 10:30 a 12:30, viernes de 11:30 a 13:00 (Luis Fuentes García, Piso 1, despacho 4, frente a dirección). Telemáticas: bajo demanda, a través de Teams.

General information

Year

First

Type

Basic training

Credits

Department

Mathematics

4 hours per week, of which 2 are usually theory and 2 are problems. The problem sessions are mostly devoted to the resolution of the previously proposed problems.

Schedule
Hour	Monday	Tuesday	Wednesday	Thursday	Friday
15:00–15:50	Group 1	—	Group 1	—	—
16:00–16:50	Group 1	—	Group 1	—	—
17:00–17:50	Group 2	—	Group 2	—	—
18:15–19:05	Group 2	—	Group 2	—	—

Group 1: Classroom 1 Group 2: Classroom 2

Exams. A final exam of the entire subject, marked with a maximum of ten points; to pass, a grade equal to or greater than 5.0 is required. Two voluntary assignments will also be proposed, amounting to a maximum of 1 additional point, which may be used in the exam to replace the exercises chosen by the student. The use of programmable calculators is not allowed.

Office hours. Face-to-face: Xabier Domínguez Pérez, Mon, Thu, Fri, 10:00–12:00 (to be confirmed), Floor 2, office A2-18. Online: on demand, through Teams.

Programa

Tema 1. Preliminares

Cap. 1. Conjuntos y aplicaciones. Conjuntos, correspondencias, aplicaciones.
Cap. 2. Combinatoria. Variaciones, permutaciones y combinaciones.

Tema 2. Matrices y determinantes

Cap. 1. Matrices. Definiciones básicas. Operaciones con matrices. Matrices especiales.
Cap. 2. Determinantes. Preliminares sobre permutaciones. Determinante de una matriz cuadrada: definición y propiedades. Desarrollo por menores. Rango de una matriz. Inversa de una matriz.
Cap. 3. Equivalencia y congruencia de matrices. Transformaciones elementales. Equivalencia por filas y por columnas. Congruencia.
Cap. 4. Sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer. Teorema de Rouché-Frobenius. Método de Gauss.

Tema 3. Espacios vectoriales

Cap. 1. Espacios y subespacios vectoriales. Definición y propiedades.
Cap. 2. Sistemas generadores, sistemas libres, bases. Combinación lineal, dependencia e independencia, bases, dimensión y coordenadas, rango, cambios de base, fórmula de las dimensiones.
Cap. 3. Aplicaciones lineales. Definición y propiedades. Expresión matricial, cambio de base, núcleo e imagen, composición de homomorfismos.
Cap. 4. Endomorfismos. Autovalores y autovectores. Diagonalización por semejanza. Triangularización. Formas de Jordan.

Syllabus

Part 1. Introductory notions

Chapter 1. Sets and functions. Sets, correspondences and functions.
Chapter 2. Combinatorics. Variations, permutations and combinations.

Part 2. Matrices and determinants

Chapter 1. Matrices. Basic definitions. Operations with matrices. Special matrices.
Chapter 2. Determinants. Basic notions about permutations. Determinant of a square matrix: definition and properties. Cofactor expansion. Rank of a matrix. Inverse of a matrix.
Chapter 3. Equivalence and congruence of matrices. Elementary transformations. Row and column equivalence. Congruence.
Chapter 4. Systems of linear equations. Cramer's Rule. Rouché-Frobenius Theorem. Gaussian elimination.

Part 3. Vector spaces

Chapter 1. Vector spaces and vector subspaces. Definition and properties.
Chapter 2. Spanning sets, linear independence, bases. Linear combinations, dependence and independence, bases, dimension and coordinates, rank, change of basis, dimension formula.
Chapter 3. Linear maps. Definition and properties. Matrix representation, change of basis, kernel and image, composition of homomorphisms.
Chapter 4. Endomorphisms. Eigenvalues and eigenvectors. Diagonalization and similarity. Triangularization. Jordan forms.

Bibliografía

Castellano

J. de Burgos, Álgebra lineal. McGraw-Hill, 2000.
M. Anzola y otros, Problemas de Álgebra (tomos 1, 3, 6, 7 especialmente). Madrid, 1981.
J. Rojo, Álgebra lineal. McGraw-Hill, 2001.
F. Ayres Jr., Teoría y problemas de matrices. McGraw-Hill, 1991.
J. Rojo e I. Martín, Ejercicios y problemas de Álgebra. McGraw-Hill, 1994.
S. I. Grossman, Álgebra lineal. McGraw-Hill, 1995.
F. Granero, Álgebra y geometría analítica. McGraw-Hill, 1992.
J. Flaquer y otros, Curso de Álgebra lineal. Ediciones Universidad de Navarra, 1996.
P. Sanz y otros, Problemas de Álgebra lineal. Prentice Hall, 1998.
M. Castellet e I. Llerena, Álgebra lineal y geometría. Reverté, 1991.
J. Arvesú y otros, Álgebra lineal y aplicaciones. Síntesis, 1999.
J. Pérez Vilaplana, Problemas de cálculo de probabilidades. Paraninfo, 1991.
S. Lipschutz, M. L. Lipson, Teoría y problemas de probabilidad. McGraw-Hill, 2000.

Inglés

G. Williams, Linear algebra with applications. Jones & Bartlett Learning, 2019.
D. G. Lay and S. R. Lay, Linear Algebra and its Applications. Pearson, 2022.
T. S. Blyth, E. F. Robertson, Basic Linear Algebra. Springer, 2022.
T. S. Blyth, E. F. Robertson, Further Linear Algebra. Springer, 2022.
S. Ghahramani, Fundamentals of probability with stochastic processes. 3rd ed. CRC Press, 2016.
J. Hefferon, Linear Algebra. 4th ed. Freely available online.

Resumen de contenidos
Libro	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	i	ii	iii	iv	v	vi
TEORIA AMPLIA	×		×			×	×	×		×	×				×	×	×	×	×
TEORIA RESUMIDA				×	×							×	×	×	×	×
PROBLEMAS				×		×	×	×		×	×			×	×	×	×	×
PROBLEMAS CON SOLUCION	×		×	×		×			×				×		×			×	×
PROBLEMAS RESUELTOS		×			×			×	×		×	×	×	×		×	×
TEMA I. Preliminares.
Conjuntos y aplicaciones	×	1	×				×												×
Combinatoria		1										×	×					×
TEMA II. Matrices y determinantes.
Operaciones con matrices	×	3	×	×	×	×	×	×	×		×			×	×	×
Transformaciones elementales	×	3	×	×	×		×	×			×			×	×	×			×
Determinantes	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Equivalencia de matrices	×		×	×			×									×			×
Congruencia de matrices	×		×	×			×										×
Semejanza de matrices	×		×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Sistemas de ecuaciones lineales	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×
TEMA III. Espacios vectoriales.
Espacios vectoriales	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Aplicaciones lineales	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Vectores columna	×		×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Vectores fila		3
Endomorfismos	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×					×
Autovectores y autovalores	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Diagonalización	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Forma de Jordan	×		×	×	×		×	×	×	×							×		×

Las columnas 1–13 corresponden a los libros en castellano; i–vi, a los libros en inglés.

Bibliografía completa en PDF, y en el catálogo de la Biblioteca de la UDC.

Bibliography

Spanish

J. de Burgos, Álgebra lineal. McGraw-Hill, 2000.
M. Anzola y otros, Problemas de Álgebra (tomos 1, 3, 6, 7 especialmente). Madrid, 1981.
J. Rojo, Álgebra lineal. McGraw-Hill, 2001.
F. Ayres Jr., Teoría y problemas de matrices. McGraw-Hill, 1991.
J. Rojo e I. Martín, Ejercicios y problemas de Álgebra. McGraw-Hill, 1994.
S. I. Grossman, Álgebra lineal. McGraw-Hill, 1995.
F. Granero, Álgebra y geometría analítica. McGraw-Hill, 1992.
J. Flaquer y otros, Curso de Álgebra lineal. Ediciones Universidad de Navarra, 1996.
P. Sanz y otros, Problemas de Álgebra lineal. Prentice Hall, 1998.
M. Castellet e I. Llerena, Álgebra lineal y geometría. Reverté, 1991.
J. Arvesú y otros, Álgebra lineal y aplicaciones. Síntesis, 1999.
J. Pérez Vilaplana, Problemas de cálculo de probabilidades. Paraninfo, 1991.
S. Lipschutz, M. L. Lipson, Teoría y problemas de probabilidad. McGraw-Hill, 2000.

English

G. Williams, Linear algebra with applications. Jones & Bartlett Learning, 2019.
D. G. Lay and S. R. Lay, Linear Algebra and its Applications. Pearson, 2022.
T. S. Blyth, E. F. Robertson, Basic Linear Algebra. Springer, 2022.
T. S. Blyth, E. F. Robertson, Further Linear Algebra. Springer, 2022.
S. Ghahramani, Fundamentals of probability with stochastic processes. 3rd ed. CRC Press, 2016.
J. Hefferon, Linear Algebra. 4th ed. Freely available online.

Summary of contents
Book	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	i	ii	iii	iv	v	vi
EXTENDED THEORY	×		×			×	×	×		×	×				×	×	×	×	×
SUMMARIZED THEORY				×	×							×	×	×	×	×
PROBLEMS				×		×	×	×		×	×			×	×	×	×	×
PROBLEMS WITH SOLUTION	×		×	×		×			×				×		×			×	×
SOLVED PROBLEMS		×			×			×	×		×	×	×	×		×	×
PART I. Introductory notions
Sets and functions	×	1	×				×												×
Combinatorics		1										×	×					×
PART II. Matrices and determinants
Operations with matrices	×	3	×	×	×	×	×	×	×		×			×	×	×
Elementary transformations	×	3	×	×	×		×	×			×			×	×	×			×
Determinants	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Equivalence of matrices	×		×	×			×									×			×
Congruence of matrices	×		×	×			×										×
Similarity of matrices	×		×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Systems of linear equations	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×
PART III. Vector spaces
Vector spaces	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Linear maps	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Column vectors	×		×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Row vectors		3
Endomorphisms	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×					×
Eigenvectors and eigenvalues	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Diagonalization	×	3	×	×	×	×	×	×	×	×	×			×	×	×			×
Jordan form	×		×	×	×		×	×	×	×							×		×

Columns 1–13 correspond to the Spanish books; i–vi, to the English books.

Full bibliography in PDF, and in the UDC Library catalogue.

Prácticas

Curso 2026/2027

1.1. Conjuntos y aplicaciones Ejercicios Problemas

1.2. Combinatoria Ejercicios Problemas

Curso 2025/2026

1.1. Conjuntos y aplicaciones Ejercicios Problemas Soluciones

1.2. Combinatoria Ejercicios Problemas Soluciones

2.1-2. Matrices y determinantes Ejercicios Problemas Soluciones

2.3-4. Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones Ejercicios Problemas Soluciones

3.1-2. Espacios vectoriales Ejercicios Problemas Soluciones

3.3. Aplicaciones lineales Ejercicios Problemas Soluciones

3.4. Endomorfismos Ejercicios Problemas Soluciones

Exercises and problems

The exercises and problems for the current academic year are the same as those listed in the Spanish version. The 2026/2027 material is in Spanish.

Academic year 2022/2023

1.1. Sets and functions Exercises Problems Solutions

1.2. Combinatorics Exercises Problems Solutions

2.1-2. Matrices and determinants Exercises Problems Solutions

2.3-4. Equivalence of matrices. Systems of linear equations Exercises Problems Solutions

3.1-2. Vector spaces Exercises Problems Solutions

3.3. Linear maps Exercises Problems Solutions

3.4. Endomorphisms Exercises Problems Solutions

Exámenes y trabajos

Curso 2026/2027

Examen final (1ª oportunidad) — 12 de enero de 2027 (16:00) verificar aquí

Examen final (2ª oportunidad) — 17 de junio de 2027 (16:00) verificar aquí

Curso 2025/2026

Trabajo voluntario — Temas 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 Enunciado

Trabajo voluntario — Temas 3.1, 3.2 Enunciado

Examen final (1ª oportunidad, enero 2026) — ejercicio único Enunciado Soluciones

Examen final (2ª oportunidad, julio 2026) — ejercicio único Enunciado Soluciones

Exams and assignments

Academic year 2024/2025

Voluntary assignment — Chapters 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 (in Spanish) Statement

Voluntary assignment — Chapters 3.1, 3.2 (in Spanish) Statement

First call — 23 January 2025 (16:00) Statement Solutions

Second call — 27 June 2025 (16:00) Statement Solutions

Note: the English version of this section is not as up to date as the Spanish one on the original site — content has been kept as published there.

Documentos de apoyo

Preguntas frecuentes

Precursos: apuntes y ejercicios sobre temas previos a la asignatura

Precursos

Material de preparación y repaso de conocimientos previos a la asignatura.

Fundamentales

1. Introducción a la lógica.Teoría Problemas

2. Introducción a la Teoría de conjuntos.Teoría Problemas

3. Polinomios y fracciones algebraicas.Teoría Problemas

4. Introducción a las funciones reales.Teoría Problemas

5. Números reales.Teoría Problemas

6. Algunas funciones elementales.Teoría Problemas

7. Análisis combinatorio.Teoría Problemas

8. Trigonometría.Teoría Problemas

9. Áreas y volúmenes.Teoría

Tema I. Preliminares

Tema II. Matrices y determinantes

Tema III. Espacios vectoriales

Support documents

F.A.Q.

Precourses: notes on topics that should be known before starting the study of the subject (in Spanish)

Precourses (in Spanish)

Preparatory and review material covering knowledge required before taking the course. The material is in Spanish.

Fundamentals

1. Introduction to logic.Theory Problems

2. Introduction to Set Theory.Theory Problems

3. Polynomials and algebraic fractions.Theory Problems

4. Introduction to real functions.Theory Problems

5. Real numbers.Theory Problems

6. Some elementary functions.Theory Problems

7. Combinatorial analysis.Theory Problems

8. Trigonometry.Theory Problems

9. Areas and volumes.Theory

Part I. Introductory notions

Part II. Matrices and determinants

Part III. Vector spaces

Chapter 1. Vector spaces and vector subspaces
Chapter 2. Spanning sets. Linear independence. Bases
Chapter 3. Linear maps
Chapter 4. Endomorphisms (appendix: diagonalization)

Enlaces de interés

Curso 0. Matemáticas
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Matrices, derivadas, integrales, ecuaciones, etc. — online.
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Luis Fuentes García

Raquel Taboada Vázquez

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Información general

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Programa

Tema 1. Preliminares

Tema 2. Matrices y determinantes

Tema 3. Espacios vectoriales

Syllabus

Part 1. Introductory notions

Part 2. Matrices and determinants

Part 3. Vector spaces

Bibliografía

Bibliography

Prácticas

Curso 2026/2027

Curso 2025/2026

Exercises and problems

Academic year 2022/2023

Exámenes y trabajos

Curso 2026/2027

Curso 2025/2026

Exams and assignments

Academic year 2024/2025

Documentos de apoyo

Precursos

Fundamentales

Recomendados

Tema I. Preliminares

Tema II. Matrices y determinantes

Tema III. Espacios vectoriales

Support documents

Precourses (in Spanish)

Fundamentals

Recommended

Part I. Introductory notions

Part II. Matrices and determinants

Part III. Vector spaces

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