Cálculo Avanzado en Ingeniería (Master ICCP)

Tema 1.- Introducción

Conceptos básicos y definiciones: Definición de ecuación diferencial en derivadas parciales [Origen y motivación de las EDPs]. Concepto de "problema matemático". Aspectos generales sobre las soluciones [Soluciones generales y soluciones particulares]. [Diferencias con las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias]. Grado y orden de una ecuación en derivadas parciales. Operadores lineales y no lineales. Ecuaciones en derivadas parciales homogéneas. Principio de superposición. Métodos generales de solución de ecuaciones en derivadas parciales. Repaso de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden: Ecuaciones de primer orden [Teoremas de existencia y unicidad de soluciones]. [Ecuaciones en variables separadas, exactas y no exactas]. [Ecuaciones diferenciales lineales]. [Cálculo variacional]. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden [Solución de la ecuación completa y de la ecuación homogénea]. [Dependencia e independencia lineal de las soluciones]. [Métodos de variación de los parámetros y de coeficientes indeterminados].

Tema 2.- Planteamiento de problemas de la Física-Matemática

Introducción al planteamiento de problemas matemáticos: Problemas de contorno, de contorno y valores iniciales y de valores iniciales. Condiciones de Hadamard. Ecuación de la difusión: Deducción de la "ecuación del calor en una barra metálica" [Hipótesis del modelo y planteamiento del problema]. [Forma diferencial y forma integral de la ecuación del calor]. [Ecuaciones constitutivas: Ley de Fourier y ley de Cattaneo] Condiciones iniciales y de contorno para la ecuación del calor [Condiciones de tipo Dirichlet (temperaturas prescritas)]. [Condiciones de tipo Neumann ( flujos de calor prescritos)]. [Condiciones de tipo Robin (ley de enfriamiento de Newton)]. Distribución de temperaturas en el equilibrio. Deducción de la ecuación del calor en dos y tres dimensiones. Planteamiento de la ecuación del calor en coordenadas polares, esféricas y cilíndricas [Condiciones de regularidad y condiciones periódicas]. Otros fenómenos físicos de interés en la ingeniería gobernados por la ecuación de la difusión. Ecuación de ondas: Deducción de la "ecuación de la cuerda vibrante" [Hipótesis del modelo y planteamiento del problema]. Condiciones iniciales y de contorno para la ecuación de ondas [Condiciones de tipo Dirichlet (desplazamientos prescritos)]. [Condiciones de tipo Neumann (tensiones prescritas)]. [Condiciones de tipo Robin (extremos elásticos)]. Deducción de la ecuación de ondas en dos dimensiones [Ecuación de la membrana vibrante]. Otros fenómenos físicos de interés en la ingeniería gobernados por la ecuación de ondas. Ecuaciones de Laplace y de Poisson: Fenómenos físicos gobernados por estas ecuaciones diferenciales. Condiciones de contorno. Propiedades cualitativas de la ecuación de Laplace. Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales: Ecuaciones con dos variables independientes [Tipos de ecuaciones hiperbólicas, parabólicas y elípticas]. [Transformaciones de las ecuaciones diferenciales a las formas canónicas]. [Ecuaciones diferenciales características y curvas características]. [Ecuaciones con coeficientes constantes]. Ecuaciones con varias variables independientes.

Tema 3.- Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Introducción: Fenómenos físicos gobernados por ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Reducción de ecuaciones diferenciales de orden superior a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones diferenciales lineales: Método de las características [Rectas características]. [Rango de influencia y dominio de dependencia]. Aplicación a la ecuación de ondas unidireccional. Solución de D'Alembert a la ecuación de ondas. Ecuaciones diferenciales cuasi-lineales: Resolución por el método de las características [Ecuaciones y curvas características]. [Existencia y unicidad de la solución] [Ondas de expansión y ondas de compresión]. [Ondas de choque y tiempo de choque]. Aplicación a problemas de tráfico de vehículos.

Tema 4.- Separación de variables

Repaso de conceptos básicos: Ortogonalidad de funciones [Conjuntos de funciones ortogonales]. [Ortogonalidad respecto de una función de ponderación]. Series de Fourier [Determinación de los coeficientes de Fourier]. [Convergencia de una serie de Fourier]. [Series seno y coseno de Fourier]. Problemas de Sturm Liouville para ecuaciones diferenciales ordinarias: Clasificación de los problemas de Sturm Liouville. Valores propios y funciones propias. Propiedades de los problemas regulares [Carácter real de los valores propios]. [Ordenación de los valores propios]. [Ortogonalidad de las funciones propias]. [Cocientes de Rayleigh]. [Unicidad de las funciones propias]. Problemas de Sturm Liouville singulares [Ortogonalidad de las funciones de Bessel y de Legendre]. Series generalizadas de funciones propias. Solución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales homogéneas: Fundamentación de los métodos de separación de variables. Obtención de las ecuaciones separadas. Resolución de la ecuación de la cuerda vibrante. Resolución del problema de conducción de calor en una barra. Resolución del problema de conducción de calor en un anillo. Resolución del problema de vibraciones transversales en una membrana circular elástica. Resolución de la ecuación de Laplace en un rectángulo. Resolución de la ecuación de Laplace en un círculo [Problemas de Dircihlet y Neumann (interiores y exteriores)]. [Obtención de fórmulas integrales]. Solución de ecuaciones en derivadas parciales con más de dos variables independientes: Series de Fourier múltiples [Cálculo de coeficientes y convergencia de las series]. Problemas de valores propios multidimensionales [Propiedades de los valores y funciones propias]. [Ortogonalidad de las funciones propias]. [Series de funciones propias multidimensionales]. Solución de problemas multidimensionales homogéneos [Obtención de las ecuaciones separadas]. [Problemas de vibraciones de una membrana rectangular]. [Solución de la ecuación de Laplace en un cubo]. [Solución de la ecuación de Laplace en un cilindro].

Tema 5.- Problemas no homogéneos

Transformación de problemas no homogéneos en problemas homogéneos: Ejemplo de aplicación a la ecuación del calor [Obtención de temperaturas en el equilibrio]. [Obtención de temperaturas de referencia]. Métodos de desarrollos en funciones propias: Diferenciación e integración de las series de Fourier. Obtención de las funciones propias. Solución en serie del problema no homogéneo. Problemas de calor con fuentes de calor externas. Problemas de vibraciones forzadas en una membrana rectangular. Aplicación a la ecuación de Poisson.

Tema 6.- Funciones de Green para problemas de contorno

Introducción: Obtención de la función de Green a partir de la solución en serie de Fourier. Aplicación a la ecuación del calor [Problema homogéneo]. [Problema no homogéneo con condiciones de contorno homogéneas]. Funciones de Green para ecuaciones diferenciales ordinarias: Obtención de la función de Green para la ecuación del calor en estado estacionario [Mediante paso al límite del problema transitorio]. [Mediante el método de variación de parámetros]. [Mediante el desarrollo en funciones propias]. Interpretación de la función de Green [Relación entre la delta de Dirac y la función de Green]. Propiedades de las funciones de Green [Simetría de las funciones de Green]. [Principio de reciprocidad de Maxwell]. Solución de problemas con condiciones de contorno no homogéneas. Funciones de Green para problemas de contorno en 2D y 3D: Ecuación de Poisson: Teorema de la divergencia e identidades de Green. Solución de problemas con condiciones de contorno homogéneas. Obtención de funciones de Green por desarrollo en funciones propias. Solución de problemas con condiciones de contorno no homogéneas. Obtención de funciones de Green en problemas con dominios infinitos y semi-infinitos en dos y tres dimensiones.

Tema 7.- Transformaciones integrales

Motivación: Objetivo. Tipos de transformaciones: Laplace y Fourier. Transformadas de Laplace: Definición. Principales propiedades de la transformada de Laplace. Aplicación a problemas en derivadas parciales de primer orden. Aplicación a problemas en derivadas parciales de segundo orden [Principio y fórmulas de Duhamel]. Transformadas de Fourier: Definición de Integral de Fourier de una función. Principales propiedades de las transformadas seno y coseno de Fourier y de la transformada compleja de Fourier. Aplicación a problemas en derivadas parciales elementales. Definición y propiedades de las transformadas finitas en seno y coseno de Fourier. Definición de las transformadas de Fourier discretas y de las transformadas rápidas de Fourier. Aplicación de las transformadas de Fourier a problemas en la ingeniería industrial y en la ingeniería civil.